(수리 통계) Gamma distribution (감마 분포)

Gamma distribution으로 알아보는 수리통계의 전반적인 Flow!

 

 

특징

$\cdot$ (포아송 사건이) $\alpha$번째 사건 발생까지의 대기시간을 나타내는 분포.

$\cdot$ 정규분포로 설명할 수 없는 부분을 보완하기 위해 나온 확률분포.

$\cdot$ 연속 확률분포로 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.

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Q1. 데이터 정의

$\cdot$ 여기서는 단변량 데이터의 경우만 고려.

$\cdot$ Excel 형태 

Index	X (R.V)	$\to \;\;x$ (observation)
1	$X_1$	$\to \;\;x_1$
2	$X_2$	$\to \;\;x_2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
n	$X_n$	$\to \;\;x_n$

$\to \quad X_1,X_2, \cdots,X_n \overset{i.i.d.}{\sim}  Gamma(\alpha, \beta)$ 

 

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Q2. 확률변수의 정의

 

$\bigcirc$ pdf 정의 및 합이 1임을 보이기.

 

$\cdot$ pdf 정의

   $f(x) \;\;=\;\; {1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}$

    $\cdot\;\;\Gamma(\alpha) \;\;=\;\; \int^\infty_0 y^{\alpha-1} e^{-y} \; dy \quad (\alpha > 0) \quad\to \quad(\alpha-1)!$

    $\cdot\;\;0 \leq x < \infty$

 

 

$\cdot$ pdf 성질 (확률의 공리 만족 여부)

  $\int^\infty_0 {x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} \; dx$

 

  $\to\quad \int^\infty_0 {\beta y^{\alpha-1} e^{-y} \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} \beta\; dy$      from  $Y = {x \over \beta}$

 

  $\to\quad{1 \over \Gamma(\alpha)} \int^\infty_0 y^{\alpha-1} e^{-y} \; dy$

 

  $\to\quad{\Gamma(\alpha) \over \Gamma(\alpha)}$ = 1          from  $\Gamma(\alpha) \;\;=\;\; \int^\infty_0 y^{\alpha-1} e^{-y} \; dy \quad \alpha > 0$ 

 

 

$\bigcirc$ cdf 정의

평균 $\lambda$를 갖는 포아송과정에서 $\alpha$ 번째 발생이 일어날 때까지 기다리는 시간을 $X$라 할 때,

$X$의 cdf는 $x \geq 0$일 때 다음과 같이 정의된다.

 

$F(X)$

$=\;\; P(X \leq x) = 1 - P(X > x)$ 

$=\;\; 1 - P([0, x]에서\;\; \alpha 개\;\;보다\;\;작은\;\;개수의\;\;발생이\;\;일어난다.)$

$=\;\; 1- \sum^{\alpha-1}_{k=0} {(\lambda x)^k e^{-\lambda x} \over k!}$

 

 

$\bigcirc$ mgf 유도

 

$M(t) \;\;=\;\; {1 \over (1-\beta t)^\alpha}$

 

$M(t) \\ = \;\; E(e^{tX}) \\ = \;\;  \int_0^{\infty}{1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} e^{tX} \;dx \\ = \;\;  \int_0^{\infty}{1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-{1 \over \beta} (1-\beta t)x} \;dx$

$=\;\; \int^{\infty}_0 {1 \over \Gamma(\alpha) \beta^\alpha} {\beta^\alpha \over (1-\beta t)^\alpha}y^{\alpha-1}e^{-y} \;dy$          from   $y \;\;=\;\; {1 \over \beta}(1-\beta t)x$

$=\;\; {1 \over (1-\beta t)^\alpha} \int^{\infty}_0 {1 \over \Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1}e^{-y} \;dy$

$=\;\; {1 \over (1-\beta t)^\alpha}$                                                 from $\int^{\infty}_0 {1 \over \Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1}e^{-y} \;dy \;\;=\;\; 1$

 

 

$\bigcirc$ cgf 유도 

2021.12.21 - [Mathematical Statistics] - Chapter 1. Preliminaries

 

 

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Q3. 확률변수의 기댓값, 분산 및 성질

 

$\bigcirc$ 정의를 이용한  평균과 분산

 

$\cdot$ 기댓값

$E(X)$

$=\;\; \int_0^{\infty} x\;{1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}  \;dx$

$=\;\; \int_0^{\infty} {1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{(\alpha+1)-1} e^{-x/\beta}  \;dx$

$=\;\; \int_0^{\infty} {1 \over \Gamma(\alpha+1) \beta^{\alpha+1}} x^{(\alpha+1)-1} e^{-x/\beta}  {\Gamma(\alpha+1) \over \Gamma(\alpha)} {\beta^{\alpha+1} \over \beta^{\alpha}}\;dx$

$=\;\; \alpha \beta$                                                                       

        from $\Gamma(\alpha) \;\;=\;\; (\alpha-1)!$ ,         $\int_0^{\infty} {1 \over \Gamma(\alpha+1) \beta^{\alpha+1}} x^{(\alpha+1)-1} e^{-x/\beta} \;\;=\;\; 1 \quad \because \;\; Gamma\;\;distribution's \;\; pdf$

 

$\cdot$ 분산

$E(X^2)$

$=\;\; \int_0^{\infty} x^2\;{1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}  \;dx$

$=\;\; \int_0^{\infty} {1 \over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{(\alpha+2)-1} e^{-x/\beta}  \;dx$

$=\;\; \int_0^{\infty} {1 \over \Gamma(\alpha+2) \beta^{\alpha+2}} x^{(\alpha+2)-1} e^{-x/\beta}$ ${\Gamma(\alpha+2) \over \Gamma(\alpha)}$  ${\beta^{\alpha+2} \over \beta^{\alpha}} \;dx$

$=\;\; \alpha(\alpha+1) \beta^2$                                                                       

 

$\therefore \quad Var(X) \;\;=\;\; E(X^2) \;\;-\;\;[E(X)]^2 \;\;=\;\; \alpha(\alpha+1) \beta^2 - (\alpha \beta)^2 \;\;=\;\; \alpha \beta^2$

 

 

 

$\bigcirc$ mgf 이용한  평균과 분산

 

$E(X) \;\;=\;\; M'_x(0)\;=\;[(1-\beta t)^{-\alpha}]'|_{t=0} \;\;=\;\; -\alpha(1-\beta)^{-\alpha-1}\times(-\beta)|_{t=0} \;\;=\;\; \alpha\beta(1-\beta t)^{-(\alpha+1)}|_{t=0}\;\;=\;\;\alpha\beta$ 

$Var(X) \;\;=\;\; M''_x(0)\;-\;M'_x(0) \;\;=\;\; \alpha\beta^2$

    $\because\;\;M''_x(0)\;=\;[M'_x(0)]'\;=\;[(\alpha\beta(1-\beta t)^{-(\alpha+1)}]'|_{t=0} \;\;=\;\; \alpha(\alpha+1)\beta^2(1-\beta t)^{-(\alpha+2)}|_{t=0}\;\;=\;\;\alpha^2 \beta^2 + \alpha\beta^2$

 

 

 

$\bigcirc$ cgf 이용한  평균과 분산

 

$E(X) \;\;=\;\; K'_x(0) \;\;=\;\; [-\alpha log(1-\beta t)]'|_{t=0} \;\;=\;\; {\alpha\beta \over (1-\beta t)}|_{t=0} \;\;=\;\; \alpha\beta$

 

$Var(X) \;\;=\;\; K''_x(0) \;\;=\;\; [{\alpha\beta \over (1-\beta t)}]'|_{t=0} \;\;=\;\; {\alpha\beta^2 \over (1-\beta t)^2}|_{t=0} \;\;=\;\; \alpha\beta^2$

 

 

 

 

$\bigcirc$ 성질

$\cdot$  $X_1 , \cdots, X_n \;\;\sim^{i.i.d.} Gamma(\alpha_i, \beta) \;\;이면\;\; \sum^n_{i=1} X_i \;\;\sim\;\; Gamma(\sum^n_{i=1} \alpha_i, \beta)$ 

$\cdot$  $X \;\;\sim\;\; Gamma(\alpha, \beta) \;\;이면\;\; cX \;\;\sim\;\; Gamma(\alpha, c\beta)$

$\cdot$  $Gamma(1, {1 \over \lambda}) \;\;\sim\;\; exp(\lambda)$

$\cdot$  $Gamma({v \over 2}, 2) \;\;\sim\;\; \chi^2(v)$

 

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Q4. 모수($\alpha$, $\beta$) 추정

 

$\bigcirc$ Likelihood

 

$\cdot$  Likelihood란,  데이터($x_1, x_2, \cdots, x_n$)가 관측되었을 때, 이 관측치들이 모수를 $\theta$로 갖는 분포에서 나올 가능성.   

   $\to\;\; L(\theta| x_1, \cdots, x_n) \;=\; Pr(X \;=\; x_1, \cdots, x_n \;|\; \theta)$

 

 

   $X_1, X_2, \cdots, X_n \;\; \overset{i.i.d.}{\sim} \;\; Gamma(\alpha, \beta)$ 일 때,

   $L(\alpha, \beta \;|\; X) \;=\; \prod^n_{i=1} {1 \over \Gamma(\alpha) \beta^\alpha} X^{\alpha-1} e^{-{X_i \over \beta}} \;=\; (\Gamma(\alpha) \beta^\alpha)^{-n} (\prod^n_{i=1} X_i)^{\alpha-1} e^{-{1 \over \beta} \sum^n_{i=1} X_i}$

 

 

$\bigcirc$ MLE

 

$\cdot$  MLE란, Maximum Likelihood Estimation의 약자로 어떤 모수 $\beta\; (=\; \alpha, \beta)$가 주어졌을 때, 원하는 값이 나올 가능도를

                최대로 만드는 모수를 선택하는 방법. (즉, 이론 적으로 가장 가능성이 높은 모수를 찾는 방법.)

 

$\cdot$  Likelihood의 공식이 곱셈($\prod$)로 이루어져 있어 미분 적용이 어려우므로, 식에 Log와 마이너스를 적용시키고(logl ikelihood)

   그 값이 최소가 되는 값을 구하는 방법(미분식 = 0)을 사용한다.

 

   $l(\alpha, \beta) \;=\; -log\;L(\alpha, \beta \;|\; X) \;=\; n \; log \Gamma(\alpha) + \alpha n \; log \beta - (\alpha-1) \sum^n_{i=1} log\;X_i + {1\over\beta}\sum^n_{i=1} X_i$

   ${\partial l(\alpha, \beta) \over \partial \alpha} \;=\; n{\Gamma^{'}(\alpha) \over \Gamma(\alpha)} + n\;log\beta - \sum^n_{i=1} log\;X_i \;\;=\;\;0$

 

   ${\partial l(\alpha, \beta) \over \partial \beta} \;=\; {\alpha \; n \over \beta} - {1 \over \beta^2} \sum^n_{i=1} \; X_i \;\;=\;\;0$

 

   $\therefore \;\; \hat{\beta} \;=\; \bar{X} / \hat{\alpha} \quad\quad n{\Gamma^{'}(\hat{\alpha}) \over \Gamma(\hat{\alpha})} \;=\; \sum^n_{i=1} log\;X_i \;-\; n\;log\;\hat{\beta}$

 

Gamma의 likelihood는 $\hat{\alpha}$을 추정 후 이를 이용해 $\hat{\beta}$ 구하는 Profile Liklihood이다.
여기서 $\hat{\alpha}$는 다음과 같은 순서로 추정된다.

1. $n{\Gamma^{'}(\alpha) \over \Gamma(\alpha)} + n\;log\beta - \sum^n_{i=1} log\;X_i \;\;=\;\;0$

2. ${\Gamma^{'}(\alpha) \over \Gamma(\alpha)} + \;log\beta - {1 \over n}\sum^n_{i=1} log\;X_i \;\;=\;\;0$    from  n으로 나누기.

3. $\psi(\alpha) - \;log\alpha +log\bar{X}- {1 \over n}\sum^n_{i=1} log\;X_i \;\;=\;\;0$     from ${\Gamma^{'}(\alpha) \over \Gamma(\alpha)} \;=\; \psi(\alpha)$,  $\beta\;=\;{\bar{X} \over \alpha}$

4. 위 식에서 좌변을 $g(\alpha)$라고 할 때, $g^{`}(\alpha) \;=\; \psi^{'}(\alpha) - {1 \over \alpha}$가 되며, 이 식에 "Newton-Rapshon"방법을 사용한다.
     $\to$ Newton-Rapshon method :  수렴할때까지  $\alpha_{n+1} \;=\; \alpha_n - g(\alpha_n) / g'(\alpha_n)$을 반복.

 

 

$\bigcirc$ MME

 

$\cdot$  MME란, Method of Moments Estimation의 약자로 모수 $\beta\; (=\; \alpha, \beta)$의 함수인

                 k차 모적률을 k차 표본적률과 일치시켜 모수를 추정하는 방법.

 

$\cdot$  모적률

     $\mu \;=\; M^{'}(t) |_{t=0} \;=\; \alpha\beta(1-\beta t)^{-(\alpha +1)}|_{t=0} \;=\; \alpha\beta$

     $\sigma^2 \;=\; E(X^2) - [E(X)]^2 \;=\; M^{''}(0) - M^{'}(0) \;=\; \alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^2 - (\alpha\beta)^2 \;=\; \alpha\beta^2$
              from $E(X^2) \;=\; M^{''}(t)|_{t=0} \;=\; \alpha(\alpha+1)\beta^2(1-\beta t)^{-(\alpha+2)}|_{t=0} \;=\; \alpha(\alpha+1)\beta^2$

     $\beta \;=\; {\alpha\beta^2 \over \alpha\beta} \;=\; {\sigma^2 \over \mu}$
     $\alpha \;=\; {\mu \over \beta} \;=\; \mu \cdot {\mu \over \sigma^2} \;=\; {\mu^2 \over \sigma^2}$

 

 

$\cdot$  MME 방식에 따라,  k차 모적률 $\approx$ k차 표본적률이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

     $\mu \;=\; M^{'}(t) |_{t=0} \;\;\approx\;\; \hat{\mu} \;=\; {1 \over n}\sum^n_{i=1}x_i$

     $\sigma^2 \;=\; \{M^{''}(t) - M^{'}(t)\} |_{t=0} \;\;\approx\;\; \hat{\sigma^2} \;=\; {1 \over n}\sum^n_{i=1}(x_i - \bar{X})^2$

 

     Cf) "k차 모적률 $\approx$ k차 표본적률"로 나타낼 수 있는 이유는 "큰 수의 법칙" 때문이다.

 

$\cdot$  따라서, $\alpha,\; \beta$의 추정량은 다음과 같다.

     $\hat{\beta} \;=\; {\alpha\beta^2 \over \alpha\beta} \;=\; {\hat{\sigma^2} \over \hat{\mu}}$
     $\hat{\alpha} \;=\; {\mu \over \beta} \;=\; \mu \cdot {\mu \over \sigma^2} \;=\; {\hat{\mu^2} \over \hat{\sigma^2}}$

 

 

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Q5. 추정량의 분포

$\circ$ 이유  :  추정량 검정 시 사용.

 

$\bigcirc$  가정

$\cdot$  여기서는 $\alpha$를 알고 있다는 가정하에 $\beta$의 추정량 분포를 구함.

$\cdot$  n = 2일 때,   $\hat{\beta}_n \;\;=\;\; {X_1 + X_2 \over 2 \alpha}$  ($\alpha$ is known)

$\cdot$  $X_1$  and  $X_2$는  서로  독립

 

 

$\bigcirc$  Transformation  method

$\circ$  특징  :  대부분의 경우에 사용 가능하나, $X$의 정의역과 $Y$의 정의역이 1-1 관계가 아니라면 식이 복잡해진다.

 

 

$T \;\;=\;\; {X_1 + X_2 \over 2 \alpha}$        $W \;\;=\;\; {X_2 \over X_1 + X_2}$             $0 \;<\; T \;<\; \infty$ ,     $0 \;<\; W \;<\; 1$

 

$X_1 \;\;=\;\; 2\alpha T(1-W)$     ,      $X_2 \;\;=\;\; 2\alpha TW$

 

$| J | \;\;=\;\; \begin{vmatrix} {dx_1 \over dT} & {dx_2 \over dT} \\ {dx_1 \over dW} & {dx_2 \over dW} \end{vmatrix} \;\;=\;\; \begin{vmatrix} 2\alpha(1-w) & 2\alpha w \\ -2\alpha t & 2\alpha t \end{vmatrix} \;\;=\;\; 4\alpha^2 t$

 

$g_{T,W}(t, w) \;\;=\;\; | J | \cdot f_{X_1, X_2}(2\alpha t(1-w) , 2\alpha tw) \;\;=\;\; {(4\alpha^2)^{\alpha} \times t^{2\alpha} \times e^{- {2\alpha t \over \beta}} \over \Gamma(\alpha) \Gamma(\alpha) \beta^{2\alpha}} \times [w(1-w)]^{\alpha-1} \quad\quad 0<t<\infty \;\; 0<w<1$

 

우리가 알고 싶은 것은 $\hat{\beta}_n$ 즉, T에 대한 것이므로 T의 Marginal function을 계산.

 

$\begin{align} g_T(t) \;\; &=\;\; {(4\alpha^2)^{\alpha} \over \Gamma(2\alpha) \beta^{2\alpha}} t^{2\alpha} e^{-{2\alpha t \over \beta}} \times \int_0^1 {\Gamma(2\alpha) \over \Gamma(\alpha) \Gamma(\alpha)} w^{\alpha-1}(1-w)^{\alpha-1} dw \\ &=\;\; {(4\alpha^2)^{\alpha} \over \Gamma(2\alpha) \beta^{2\alpha}} t^{2\alpha} e^{-{2\alpha t \over \beta}} \\ &=\;\; {1 \over \Gamma(2\alpha) ({\beta \over 2\alpha})^{2\alpha}} t^{2\alpha} e^{-{t \over ({\beta \over 2\alpha})}}  \quad\quad 0<t<\infty \quad\sim Gamma(2\alpha, {\beta \over 2\alpha}) \end{align}$

 

$\therefore$  추정량 $\hat{\beta}_n$은  $Gamma(2\alpha, {\beta \over 2\alpha})$를 따른다.

 

 

$\bigcirc$  Mgf  method

$\circ$  특징  :  Mgf을 알아야하며, $X_i$들이 서로 독립이어야 한다.

 

 

$X_i$의  mgf  =  ${1 \over (1-\beta t)^{\alpha}}\;\; , \;\;\; t<{1 \over \beta}$

 

$Y$의  mgf 

$\begin{align} M_{Y}(t) \;\; &= \; E(e^{tY}) \;\;=\;\; E(e^{{X_1 \over 2\alpha}t + {X_2 \over 2\alpha}t}) \\ &= \; E(e^{{X_1 \over 2\alpha}t})  \times E(e^{{X_2 \over 2\alpha}t}) \quad\quad from \;\; Indepdent \\ &=\;\; E(e^{{X_1 \over 2\alpha}t})^2 \quad\quad\quad\quad from \;\; X_1 , X_2 \;\;\sim\;\; Gamma(\alpha, \beta) \\ &=\;\; [ \int_{0}^{\infty} e^{{X} \over 2\alpha}t {1\over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}}x^{\alpha-1} e^{-{x \over \beta}} dx ]^2 \\ &=\;\; [\int_{0}^{\infty} {1\over \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}}x^{\alpha-1} e^{({t\over 2\alpha} - {1\over \beta})x} dx ]^2 \\ &=\;\; [({2\alpha \over 2\alpha - \beta t})^{\alpha} \int_{0}^{\infty} {1\over \Gamma(\alpha) \theta^{\alpha}}x^{\alpha-1} e^{-{x \over \theta}} dx ]^2 \quad\quad, \;\; \theta \;=\; {2\alpha - \beta t \over 2\alpha\beta} \\ &=\;\; [({2\alpha \over 2\alpha - \beta t})^{\alpha} ]^2 \quad\quad from \;\; pdf\;\;of\;\;Gamma(\alpha, \theta) \\ &=\;\; [({1 \over 1 - {\beta t \over 2\alpha}})^{\alpha} ]^2 \\  &=\;\; {1 \over (1 - {\beta t \over 2\alpha})^{2\alpha}} \;\;\;\sim\;\;\; mgf\;\;of\;\;Gamma(2\alpha, {\beta \over 2\alpha}) \end{align}$

 

$\therefore$  추정량 $\hat{\beta}_n$은  $Gamma(2\alpha, {\beta \over 2\alpha})$를 따른다.

 

 

$\bigcirc$  cdf  method

$\circ$  특징  :  "단"변량인  경우  유용한  방법.

 

 

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Q6. 추정량의 성질

 

$\bigcirc$ 일치성

 

$\hat{\beta}_n \;=\; {\bar{X}_n \over \alpha} (\alpha\;\;is\;\;known)\;\; \forall\varepsilon>0,\quad \underset{n\to\infty}{lim}\;P[|\hat{\beta}_n-\beta|>\varepsilon] \;\leq\; \underset{n\to\infty}{lim}\;{\beta^2 \over \alpha n \varepsilon^2}\;\;(\approx \; 0)$

(reason  :  위에서 구한 모수의 추정량이  모수와 일치하는지를 확인)

 

(Proof)

   1.  Generlized  Chebyshev  Ineq에 의해 아래 식 도출.

            $P[|\hat{\beta}_n-\beta|>\varepsilon] \;\leq\; {E[(\hat{\beta}_n - \beta)^2] \over \alpha n \varepsilon^2}$

Generlized  Chebyshev  Ineq은 아래 세 조건이 만족하는 경우 사용 가능.
$\phi \; : \; R \;\to\; [0, \infty)$   s.t
(1) $\phi$ is even,   i.e $\phi(-x) \;=\; \phi(x)$
(2) $\phi$ is non-decreasing
(3) $\phi(x)\;>\;0\;\; x\ne0\;\;\phi(0)\;=\;0$

이 경우, $\phi(x)\;=\;x^2$($x \;=\;\hat{\beta}_n-\beta$) 이므로 위 세 조건을 모두 만족.

 

   2. 위 식에서 $E[(\hat{\beta}_n - \beta)^2]$은 다음과 같다.

         $\begin{align} E[(\hat{\beta}_n - \beta)^2] &=\; E[({\bar{X}_n \over \alpha})^2] \\ &=\; E[{1 \over \alpha^2} \bar{X}_n^2-{2\beta \over \alpha}\bar{X}_n + \beta^2] \\ &=\; {1 \over \alpha^2}[Var(\bar{X}_n) + E(\bar{X}_n)^2]-{2\beta \over \alpha}\bar{X}_n + \beta^2 \\ &=\; {\beta^2 \over \alpha n} \quad\quad\quad (E(\bar{X}_n)\;=\;\alpha\beta\;\;\;Var(\bar{X}_n)\;=\;{1\over n}\alpha\beta^2) \end{align}$

 

 

   3. 따라서, $P[|\hat{\beta}_n-\beta|>\varepsilon] \;\leq\; {E[(\hat{\beta}_n - \beta)^2] \over \alpha n \varepsilon^2}$ 이 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

        $P[|\hat{\beta}_n-\beta|>\varepsilon] \;\leq\; \underset{n\to\infty}{lim}\;{\beta^2 \over \alpha n \varepsilon^2}$

 

 

   4. 위 3번 식의 양변에 $\underset{n\to\infty}{lim}$을 대입하면 우변이 0으로 근사하므로 좌변의 확률 값이 0으로 수렴한다.

       즉, 추정량 $\hat{\beta}_n$은  모수 $\beta$와 일치한다고 할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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 Gamma 분포 https://ddoyun.notion.site/Gamma-Distribution-37886d612bde4e6eb0d0c74e27028161

Gamma Distribution

 

Binomial 분포 https://www.notion.so/Binomial-distribution-f7748e9b8c3a4de48a55b9b42c44bc0c